Sport-kaliningrad.ru

Спорт Калининград
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Теория предельного равновесия позволяет определять высоту откоса

Методы расчета откосов

Во всех расчетах напряженное состояние полагается плоско деформированным, то есть рассматривается узкая полоса склона шириной 1 м, условия ее работы сохраняются для всего склона.
В этих методах поверхность скольжения считается известной заранее. При расчетах устойчивости склона или оползневого давления призма скольжения делится вертикальными линиями на ряд отсеков. Обычно отсеки принимаются такими, чтобы без потери точности можно было в их пределах принимать поверхность за плоскость, а очертание склона, действие внешних сил и т.п. практически однородными.
Рассматриваются условия равновесия i-го отсека (Рис. 1, Рис. 2, Рис. 3). Все внешние активные силы (вес грунта в отсеке, внешняя нагрузка и т.д.), действующие на i-й отсек, приводятся к равнодействующейPi. Последнюю раскладываем в точке ее приложения на составляющие: нормальную PNi и касательную PQi к плоскости возможного сдвига отсека.

В программе реализованы следующие методы расчета:

  • Метод круглоцилиндрических поверхностей скольжения
  • Метод горизонтальных сил
  • Аналитический метод Г.М. Шахунянца

Модель теории линейного деформирования грунта

Применимость этой модели к грунтам была впервые обоснована трудами Н.П. Пузыревского, К. Терцаги, Н.М. Герсеванова, В.А. Флорина, Н.А. Цытовича. Эта модель наиболее распространена в инженерной практике благодаря своей простоте и возможности использования хорошо разработанного математического аппарата теории упругости для описания напряженно-деформированного состояния грунтов.

Теория линейного деформирования грунта базируется на предположении, что при однократном нагружении (или разгрузке) зависимость между напряжениями и деформациями в грунтах линейна. Кроме того, при нагружении рассматривается лишь общая деформация грунта без разделения ее на упругую и пластическую составляющие. Первое допушение обеспечивает возможность использования для расчетов напряжений в массиве грунта аппарата теории упругости, а второе – при известных напряжениях рассчитывать конечные деформации основания. Использование теории линейного деформирования грунта всегда требует установления предела ее применимости.

Уравнения состояния модели теории линейного деформирования записываются в виде обобщенного закона Гука:

; ;

; ;

; ,

где — модуль общей линейной деформации; — коэффициент поперечного линейного расширения (коэффициент Пуассона).

Теорию линейного деформирования иногда называют теорией упругости грунтов. Формально это справедливо, так как она использует математический аппарат теории упругости. Однако нужно иметь в виду, что это сходство чисто формальное, так как теория линейного деформирования рассматривает общие деформации, не разделяя их на упругие и пластические. Кроме того, нагружение и разгругрузка грунта в теории линейного деформирования происходят по разным законам и описываются различными по величине характеристиками деформируемости грунта.

Безразличное, устойчивое и неустойчивое равновесие

В механике есть разные виды равновесия. Так, различают устойчивое и неустойчивое, а также безразличное равновесие.

Типичный пример безразличного равновесия — катящееся колесо (или шар), которое, если остановить его в любой точке, окажется в состоянии равновесия.

Устойчивое равновесие — такое равновесие тела, когда при его малых отклонениях возникают силы или моменты сил, которые стремятся вернуть тело в равновесное состояние.

Неустойчивое равновесие — состояние равновесия, при малом отклонении от которого силы и моменты сил стремятся вывести тело из равновесия еще больше.

На рисунке выше положение шара (1) — безразличное равновесие, (2) — неустойчивое равновесие, (3) — устойчивое равновесие.

Тело с неподвижной осью вращения может находится в любом из описанных положений равновесия. Если ось вращения проходит через центр масс, возникает безразличное равновесие. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс располагается на вертикальной прямой, которая проходит через ось вращения. Когда центр масс находится ниже оси вращения, равновесие является устойчивым. Иначе — наоборот.

Особый случай равновесия — равновесие тела на опоре. При этом упругая сила распределяется по всему основанию тела, а не проходит через одну точку. Тело покоится в равновесии, когда вертикальная линия, проведенная через центр масс, пересекает площадь опоры. Иначе, если линия из центра масс не попадает в контур, образованный линиями, соединяющими точки опоры, тело опрокидывается.

Пример равновесия тела на опоре — знаменитая Пизанская башня. По легенде с нее сбрасывал шары Галилео Галилей, когда проводил свои опыты по изучению свободного падения тел.

Линия, проведенная из центра масс башни пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра.

Химическое равновесие

Химическое равновесие — состояние химической системы, при котором скорость прямой реакции равна скорости обратной.

В большом количестве заданий, которые мне довелось увидеть, я ни один раз видел, как коверкают это определение. Например, в заданиях верно-неверно предлагают похожий вариант, однако говорят о «равенстве концентраций исходных веществ и продуктов» — это грубая ошибка. Химическое равновесие — равенство скоростей.

Принцип Ле Шателье

В 1884 году французским химиком Анри Ле Шателье был предложен принцип, согласно которому, если на систему, находящуюся в состоянии равновесия, оказать внешнее воздействие (изменить температуру, давление, концентрацию), то система будет стремиться компенсировать внешнее воздействие.

Читать еще:  Как правильно устанавливают откосы

Это принцип обоснован термодинамически и доказан. Однако в такой абстрактной формулировке его сложно применить для решения конкретных задач по химическому равновесию. В этой статье я покажу конкретные примеры и обозначу алгоритм действия, чтобы вы могли успешно справляться с заданиями.

Влияние изменения концентрации на химическое равновесие

При увеличении концентрации какого-либо компонента химической реакции, система будет стремиться восстановить равновесие: равновесие будет смещаться в сторону расходования добавленного компонента.

Объясню проще: если вы увеличиваете концентрацию вещества, которое находится в левой части, равновесие сместится в правую сторону. Если добавляете вещество из левой части (продуктов реакции) — смещается в сторону исходных веществ. Посмотрите на пример ниже.

Если мы попытаемся удалить какое-либо вещество из системы (уменьшить его концентрацию), то система будет стремиться заполнить «пустое» место, которые мы создали. Наглядно демонстрирую на примере:

Можно подвести итог полученным знаниям таким образом: «Куда добавляем — оттуда смещается, откуда берем — туда смещается». Воспользуйтесь этой или придумайте свое правило для запоминания этой закономерности 😉

Изменения давления и химическое равновесие

Если речь в задании идет об изменении давления, то первое, что нужно сделать, это посчитать количество газов в уравнении слева и справа. Твердые вещества и жидкости считать не нужно. Например:

В приведенном уравнении количество молекул газа в левой части — 1, в правой — 2.

Запомните правило: «При увеличении давления равновесие смещается в сторону меньших газов, при уменьшении давления — в сторону больших газов». Для нашей системы правило действует таким образом:

В случае, если слева и справа количество молекул газа одинаково, например, в реакции:

Слева — 2 газа, и справа — 2. В такой реакции увеличение или уменьшение давления не повлияет на химическое равновесие.

Изменение температуры и химическое равновесие

Если в задании увеличивают или уменьшают температуру, то первое, что вы должны оценить: экзотермическая это реакция или эндотермическая.

Следуйте следующему правилу: «При увеличении температуры равновесие смещается в сторону эндотермической реакции, при уменьшении — в сторону экзотермической реакции». У любой обратимой реакции есть экзо- и эндотермические части:

Поэтому данное правило универсально и применимо для всех реакций. Для примера разберем следующие задачи:

Чтобы не осталось белых пятен, возьмем экзотермическую реакцию и повторим с ней подобный эксперимент.

Катализатор и ингибитор

Действие катализатора и ингибитора соответственно касается только ускорения и замедления химической реакции. Они никоим образом не влияют на равновесие.

Константа равновесия

Константой равновесия называют отношения скоростей прямой и обратной реакции. Для реакции типа aA + bB = cC + dD константа равновесия будет записана следующим образом:

Решим задачу. Дана реакция: 2NO + Cl2 ⇄ 2NOCl . Вычислите константу равновесия, если равновесные концентрации веществ для данной реакции: c(NO) = 1.8 моль/л , c(Cl2) = 1.2 моль/л , c(NOCl) = 0.8 моль/л.

Константу равновесия для данной задачи можно представить в виде 1.64 * 10 -1 .

© Беллевич Юрий Сергеевич 2018-2021

Данная статья написана Беллевичем Юрием Сергеевичем и является его интеллектуальной собственностью. Копирование, распространение (в том числе путем копирования на другие сайты и ресурсы в Интернете) или любое иное использование информации и объектов без предварительного согласия правообладателя преследуется по закону. Для получения материалов статьи и разрешения их использования, обратитесь, пожалуйста, к Беллевичу Юрию.

Потенциальная энергия и устойчивое равновесие

Как было сказано тело может находиться в состоянии равновесия только, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю. Следовательно, равновесию соответствует точка минимума (M) или максимума (N) потенциальной энергии ($E_p$), так как в этих точках сила становится равной нулю. Но, следует заметить, что точки максимума и минимума энергии не являются равноценными (рис.1).

Если частица находится в точке с минимумом потенциальной энергии, ее координата на рис.1 $x_M$. На участке $x_1le xle x_M$ потенциальная энергия убывает, значит, на частицу действует положительная сила отталкивания, которая возвращает частицу в точку М.

На отрезке $x_Mle xle x_2$ энергия $E_p$ увеличивается, на частицу оказывает воздействие отрицательная сила притяжения, которая снова возвращает тело в точку M.

Получается, что если частицу, находящуюся в точке с минимумом потенциальной энергии вывести из положения равновесия, то под действием сил она будет возвращаться назад в эту точку. Можно сделать следующий вывод: условием устойчивого равновесия является минимальная величина потенциальной энергии.

Если провести рассуждения, которые аналогичны тем, что были выше, получим, что точка N, точка максимума потенциальной энергии — это точка неустойчивого равновесия.

Анализируя условия равновесия, следует рассматривать окрестность точки поля ближайшую к ней, где нет дополнительных экстремумов энергии. Проводя анализ сил, действующих на частицу, которую смещали вправо от т М ($x_2>x_M$) мы считали, то на частицу действуют силы притяжения. Это справедливо тогда, когда частица находится левее максимума энергии. Если частица перемещена дальше вправо, то мы получаем силу отталкивания и частица не вернется в прежнее положение.

Читать еще:  Что значит слово откос

Теория хаоса

Что такое «странные аттракторы» и как они помогают синоптикам

Можно ли прогнозировать хаотическое движение элементов какой-либо системы? От чего зависит хаотическая динамика? Может ли, наконец, взмах крыла бабочки вызвать торнадо? Некоторые важные ответы на эти и другие вопросы нашел американский метеоролог Эдвард Лоренц, (невольный) автор термина «эффект бабочки» и создатель «странного аттрактора». Рассказываем об этом в первом материале, посвященном самым интересным дифференциальным уравнениям.

В 1972 году профессор метеорологии из Массачусетского технологического института Эдвард Лоренц собирался выступить на конференции, но в пылу работы не успел отправить тему своей лекции. Организатор, спешивший разослать приглашения, выбрал заголовок за него: «Предсказуемость: может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?» Так и появился термин «эффект бабочки», известный сегодня всему миру.

Эдвард Лоренц родился в 1917 году в небольшом городке в штате Коннектикут. Изучать атмосферные явления он решил еще в детстве, испытав потрясение от того, с какой легкостью солнечная погода может смениться бурей с громом и молниями.

Путь к исполнению мечты вышел долгим: магистратура в Гарварде, работа метеорологом в авиационном подразделении Армии США, защита диссертации в послевоенный период, наконец, должность научного сотрудника и, позже, профессора в MIT.

В своем выступлении Лоренц выделил несколько ключевых идей:

⦁ Если взмах крыла бабочки может вызвать торнадо, то точно так же на это способны все предыдущие и будущие взмахи, равно как и взмахи остальных миллионов бабочек, не говоря уже об активности бесчисленного населения нашей планеты.

⦁ Если взмах крыла бабочки способен вызывать торнадо, то в равной степени этот же взмах может его предотвратить.

Взмах крыла бабочки в данном контексте должен восприниматься как маленькое изменение начальных условий исследуемой системы, способное как вызвать торнадо, так и изменить его траекторию или вообще стать причиной его затухания.

В отличие от эффекта домино, где конкретное (обычно незначительное) действие приводит к конкретному (обычно значительному) результату, причем происходит это однозначно, взмах бабочки может не иметь никакого влияния на поведение торнадо.

Система Лоренца

Лоренц изучал конвекцию (теплообмен, возникающий за счет движения молекул жидкости или газа) в атмосфере Земли. Для описания подобных физических процессов часто пользуются моделью, которая включает в себя уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой ньютоновской жидкости (за исключением некоторых частных случаев, их решения в общем виде на данный момент неизвестны):

⦁ Уравнение движения в векторном виде:

⦁ Уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры в пространстве с течением времени:

⦁ Уравнение непрерывности, которое, по своей сути, описывает принцип сохранения массы чего-либо:

В оригинале эти три составляющие дают следующую систему:

Мы не будем углубляться в детальное объяснение всего вышеизложенного. Достаточно лишь понимать, что это довольно сложная модель, и Лоренцу в результате многостраничных выкладок удалось построить ее упрощение:

Здесь переменная с точкой сверху означает ее производную по времени. Более подробно:

  • x отвечает за интенсивность конвекции;
  • y отображает разность между температурами входящих и нисходящих потоков;
  • z характеризует отклонение вертикального температурного профиля от линейной зависимости;
  • σ > 1 — число Прандтля (критерий подобия тепловых процессов в жидкостях и газах);
  • ρ > 0 — число Рэлея (отображает поведение жидкости под воздействием градиента температуры);
  • β > 0 — число, отражающее геометрию конвективной ячейки.

С помощью этой системы уравнений можно рассчитать, как будет вести себя текучая среда, которую равномерно разогревают снизу и охлаждают сверху. Так, как это происходит с воздушными потоками в атмосфере. В частности, она позволяет понять, к какому результату приведет даже небольшое изменение исходных параметров.

Хаотическое движение

Перед тем как приступить к непосредственному анализу полученной системы, рассмотрим некоторые комбинации траекторий. Для наглядности, воспользуемся теми же значениями параметров, что и сам Лоренц: σ = 10, ρ = 28, β = 8/3.

Изобразим движение двух точек, расстояние между которыми изначально невелико:

Довольно интересный результат! Поначалу траектории почти неразличимы, потом они отклоняются совсем ненамного, после чего разница становится уже значительной.

Попробуем еще раз, однако теперь возьмем точки на значительном отдалении друг от друга:

Даже несмотря на подобную разницу начальных условий, траектории попадают на фигуру, которую впоследствии не покидают. Очень странно, их будто что-то притягивает…

Странный аттрактор Лоренца

Действительно, эта фигура так и называется — странный аттрактор Лоренца (от английского attract — «притягивать»).

Формальное математическое определение звучит так: аттрактор — такое подмножество фазового пространства, что все траектории, стартующие не слишком далеко от него, стремятся к нему с течением времени. (Это одно из возможных определений понятия аттрактора, существуют и другие, не эквивалентные данному.)

Читать еще:  Угол естественного откоса ячменя

Слово же «странный» здесь выступает в таком ключе: аттрактор как множество не представим в виде кривой или поверхности, он имеет более сложную, фрактальную структуру. Траектории аттрактора не замыкаются, а малые отклонения постоянно накапливаются, причем экспоненциально.

Сказанное выше можно проиллюстрировать так: две траектории, выпущенные из близких точек, со временем разбегаются достаточно далеко. Причем, чтобы отдалить момент разбегания, например, на одну секунду, нужно уменьшить расстояние между начальными точками, скажем, вдвое. А чтобы на две секунды — вчетверо. А на три — в восемь раз, и так далее.

Это означает, что, даже используя мощный компьютер, мы не можем просчитать траекторию, проходящую вблизи аттрактора, с разумной точностью на протяжении длительного промежутка времени. На каждом шаге вычислений неизбежно вносятся ошибки (из-за округления чисел и погрешностей численных методов), которые быстро накапливаются и приводят к тому, что найденная траектория сильно отличается от настоящей.

Такое искажение невозможно исправить, просто увеличивая мощность компьютера. Подобное явление называется «динамическим хаосом».

Ниже представлена модель странного аттрактора, с которой можно поэкспериментировать, меняя входящие значения. Для желающих более подробно изучить математическую сторону припасен еще один раздел сразу после модели.

Вы можете покрутить модель или увеличить/уменьшить ее масштаб (с помощью кнопок мыши на десктопе или пальцами на экране смартфона). Значение бегунков сверху вниз:

  • значение параметра σ;
  • значение параметра ρ;
  • значение параметра β;
  • плотность траекторий.

Оранжевые сферы — точки, движущиеся согласно системе Лоренца. Соответственно, синие линии — траектории этих точек.

Немного математики

Система Лоренца обладает несколькими замечательными свойствами:

⦁ Правая часть системы не имеет свободных членов, то есть она однородна.

⦁ Если тройка (x, y, z) является решением, то и (-x, -y, z) также подходит — система обладает симметрией.

Читайте также

Вопрос 4 Взаимодействие спроса и предложения. Рыночное равновесие.

Вопрос 4 Взаимодействие спроса и предложения. Рыночное равновесие. ОТВЕТВыше мы рассматривали спрос и предложение по отдельности. Теперь предстоит объединить эти две стороны рынка. Как это сделать? Ответ заключается в следующем. Взаимодействие спроса и предложения друг

Вопрос 5 Государственное регулирование рынка. Влияние налогов, дотаций, фиксированных цен на рыночное равновесие.

Вопрос 5 Государственное регулирование рынка. Влияние налогов, дотаций, фиксированных цен на рыночное равновесие. ОТВЕТОсновными инструментами государственного регулирования рынка являются:• налоги;• дотации;• фиксированные цены.Наиболее цивилизованным

Вопрос 6 Отраслевое равновесие. Устойчивость и неустойчивость равновесия. Паутинообразная модель.

Вопрос 6 Отраслевое равновесие. Устойчивость и неустойчивость равновесия. Паутинообразная модель. ОТВЕТОТРАСЛЬ – это группа конкурирующих фирм, продающих схожие блага на рынке. Отрасль как совокупность фирм включает в себя:а) индивидуальные фирмы (фирмы индивидуальных

Вопрос 19 Излишек потребителя и излишек производителя.

Вопрос 19 Излишек потребителя и излишек производителя. ОТВЕТИЗЛИШЕК ПОТРЕБИТЕЛЯ (излишек покупателя, дополнительная выгода) – разница между ценой, которую потребитель готов заплатить за товар, и той, которую он действительно платит при покупке.Термин «излишек

Вопрос 25 Совершенная конкуренция. Равновесие конкурентной фирмы в коротком и долгом периодах.

Вопрос 25 Совершенная конкуренция. Равновесие конкурентной фирмы в коротком и долгом периодах. ОТВЕТСОВЕРШЕННАЯ КОНКУРЕНЦИЯ – тип рыночной структуры, где рыночное поведение продавцов и покупателей заключается в приспособлении к равновесному состоянию рыночных

Вопрос 46 Общее равновесие и экономическая эффективность.

Вопрос 46 Общее равновесие и экономическая эффективность. ОТВЕТРазличают частичное равновесие и общее равновесие.Под частичным равновесием понимается равновесие, складывающееся на отдельном рынке. При частичном равновесии не учитывается, как изменение цены одного

8.1.1. Изокванта

8.1.1. Изокванта Изокванта (линия равного выпуска) – кривая, представляющая бесконечное множество комбинаций факторов производства (ресурсов), обеспечивающих одинаковый выпуск продукции.Изокванты для процесса производства означают то же, что и кривые безразличия для

8.3.1. Отдача от масштаба. Длительный период

8.3.1. Отдача от масштаба. Длительный период Если выбран технически эффективный метод производства, то увеличение выпуска возможно за счет пропорционального увеличения использования всех производственных ресурсов. Это и есть изменение масштаба производства.Пусть

8.4.1. Равновесие производителя

8.4.1. Равновесие производителя Анализ с помощью изоквант имеет для производителя очевидные недостатки, так как использует только натуральные показатели затрат ресурсов и выпуска продукции. В теории производства равновесие производителя определяется симметричным

4. Отдача от масштаба производства

4. Отдача от масштаба производства Производственная функция позволяет определить различные соотношения двух важнейших для производства факторов производства: труда и капитала. Посредством этого организация имеет возможность судить не только о собственном потенциале,

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector