Sport-kaliningrad.ru

Спорт Калининград
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Объем усеченной пирамиды с откосами

В геометрии обычной пирамидой называют фигуру в пространстве, которая построена на некотором плоском n-угольнике. Все вершины его соединены с одной точкой, расположенной вне плоскости многоугольника. Для примера приведем фото, где изображена пятиугольная пирамида.

Вам будет интересно: Профиль крыла самолета: виды, технические и аэродинамические характеристики, метод расчета и наибольшая подъемная сила

Эта фигура образована гранями, вершинами и ребрами. Пятиугольная грань называется основанием. Остальные треугольные грани образуют боковую поверхность. Точка пересечения всех треугольников — это главная вершина пирамиды. Если из нее опустить перпендикуляр на основание, то возможны два варианта положения точки пересечения:

  • в геометрическом центре, тогда пирамида называется прямой;
  • не в геометрическом центре, тогда фигура будет наклонной.

Далее будем рассматривать только прямые фигуры с правильным n-угольным основанием.

Свойства усеченной пирамиды.

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

6. Отношение площадей оснований: S 2 /S 1 = k 2 .

Правильная пирамида и ее объем

Полученную в пункте выше общую формулу для объема можно уточнить в случае пирамиды с правильным основанием. Площадь такого основания вычисляется по следующей формуле:

Здесь L является длиной стороны правильного многоугольника с n вершинами. Символ pi — это число пи.

Подставляя выражение для A в общую формулу, получаем объем правильной пирамиды:

Например, для треугольной пирамиды эта формула приводит к следующему выражению:

Для правильной четырехугольной пирамиды формула объема приобретает вид:

Определение объемов правильных пирамид требует знания стороны их основания и высоты фигуры.

Как определить площадь боковой поверхности?

Знание характеристик усеченной пирамиды предполагает не только умение рассчитывать ее объем, но и знать, как определять площадь боковой поверхности.

Пирамида усеченная состоит из двух типов граней:

  • равнобедренные трапеции;
  • многоугольные основания.

Если в основаниях находится правильный многоугольник, то расчет его площади не представляет больших трудностей. Для этого нужно знать лишь длину стороны a и их количество n.

В случае с боковой поверхностью расчет ее площади предполагает определение этой величины для каждой из n трапеций. Если n-угольник является правильным, то формула для площади боковой поверхности принимает вид:

Здесь hb — высота трапеции, которая называется апотемой фигуры. Величины a1 и a2 — это длины сторон правильных n-угольных оснований.

Читать еще:  Крепление откосов матрасами рено

Для каждой правильной n-угольной усеченной пирамиды можно однозначно определить апотему hb через параметры a1 и a2 и высоту h фигуры.

Пирамида усеченная

Предположим, что мы взяли произвольную пирамиду и отсекли у нее часть боковой поверхности, содержащей вершину. Оставшаяся фигура называется усеченной пирамидой. Она состоит уже из двух n-угольных оснований и n трапеций, которые их соединяют. Если секущая плоскость была параллельна основанию фигуры, тогда образуется усеченная пирамида с параллельными подобными основаниями. То есть длины сторон одного из них можно получить, умножая длины другого на некоторый коэффициент k.

Рисунок выше демонстрирует усеченную правильную Видно, что верхнее основание ее так же, как и нижнее, образовано правильным шестиугольником.

Формула которую можно вывести, используя подобное приведенному интегральное исчисление, имеет вид:

Где A 0 и A 1 — площади нижнего (большого) и верхнего (маленького) оснований соответственно. Переменной h обозначается высота усеченной пирамиды.

11 класс. Геометрия. Объемы тел.

11 класс. Геометрия. Объемы тел.

  • Оглавление
  • Занятия
  • Обсуждение
  • О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Объем конуса

1. Историческая справка

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 гг. до н. э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н. э.). Он в 387 г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н. э.) – учеником Евклида (III в. до н. э.), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.

2. Объяснение нового материала

Объем конуса


За величину объема конуса принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанной в конус, при неограниченном удвоении числа сторон ее основания.

Читать еще:  Что такое расшивка откосов

3. Решение задач на объем конуса

Задача 1. Авиационная бомба среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубиной 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3 земли имеет массу 1650 кг?

Задача 2. Высветить слайд «Сбор смолы с сосен».

Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?

Задача 3. Прослушаем фонограмму старинной легенды восточных народов, рассказанной А.С. Пушкиным в «Скупом рыцаре».

«. Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу.
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли.»

Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Докажите геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным.

Угол откоса Ј 45°, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е. 45° (рис. 5).

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м ( человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек. К сведению, Аттила – предводитель гуннов, кочевого народа, сложившегося в Приуралье из многих племен. Массовое передвижение гуннов на запад (с 70-х гг. IV в.) дало толчок «великому переселению народов». Наибольшего могущества гуннская держава достигла при Аттиле (?–453 гг.), который возглавил опустошительные походы в Восточно-Римскую империю (413 г., 447 г., 448 г., 451 г.). Но в 451 году на Каталаунских полях (равнина в северо-восточной Франции к западу от города Труа) войска Западно-Римской империи в союзе с франками, вест-готами, бургундами, аланами и др. разгромили гуннов во главе с Аттилой, что привело к распаду гуннской державы.

Если бы все воины Аттилы участвовали в насыпании холма, образовалась бы куча повыше вычисленной нами, но не очень. Советую вам самим дома вычислить высоту кургана и подумать, удовлетворила бы такая высота честолюбие Аттилы или нет.

Читать еще:  От подошвы откоса до бортового камня

См. также

  • Пирамида

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Усен
  • Усиковка (Кашарский район)

Полезное

Смотреть что такое «Усечённая пирамида» в других словарях:

усечённая пирамида — геометрическое тело, отсечённое от пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис.). Объём усечённой пирамиды равен . * * * УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА, геометрическое тело, отсеченное от пирамиды плоскостью, параллельной основанию.… … Энциклопедический словарь

Усечённая пирамида — геометрическое тело (рис.), отсекаемое от пирамиды (См. Пирамида) плоскостью, параллельной основанию. Объём У. п. равен s1 и s2 – площади оснований, h – высота (расстояние между основаниями). К ст. Усечённая пирамида … Большая советская энциклопедия

Усечённый икосаэдр — Для увеличения, щёлкните по картинке. Вращение фигуры Тип Полуправильный многогранник Грани … Википедия

УСЕЧЁННЫЙ — УСЕЧЁННЫЙ, ая, ое. В математике: такой, у к рого вершинная часть отделена, отсечена плоскостью, параллельной основанию. У. конус. Усечённая пирамида. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Пирамида (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Пирамидацу (значения). Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе. На странице обcуждения могут быть пояснения … Википедия

ПИРАМИДА — [от греч. pyramis (pyramidos)] многогранник, основание к рого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину (рис. 1). По числу углов основания различают П. треугольные, четырёхугольные и т. д. Объём пирамиды V = 1/2Sh. Если … Большой энциклопедический политехнический словарь

УСЕЧЁННЫЙ — УСЕЧЁННЫЙ, усечённая, усечённое; усечён, усечена, усечено. 1. прич. страд. прош. вр. от усечь (книжн.). 2. Такой, у которого верхняя часть отсечена плоскостью, параллельной основанию (о конусе, пирамиде; мат.). Усечённый конус. Усеченная пирамида … Толковый словарь Ушакова

Призматоид — ― многогранник, две грани которого (основания призматоида) лежат в параллельных плоскостях, а остальные являются треугольниками или трапециями, причём у треугольников одна сторона, а у трапеций оба основания являются сторонами оснований… … Википедия

Бипирамида — или дипирамида является трёхмерным многогранником, сформированным из двух пирамид, одна из которых является зеркальным отражением другой. Место соединения пирамид образует общую фигуру в виде многоугольника. Простая бипирамида формируется при… … Википедия

Правильный многогранник — Додекаэдр Правильный многогранник или платоново тело это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией … Википедия

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector