Sport-kaliningrad.ru

Спорт Калининград
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Формула расчета устойчивости откоса

Расчёт общей и местной устойчивости

Наиболее опасные предельные состояния связаны с потерей устойчивости элементов и системы в целом. В расчётном комплексе SCAD Office имеется режим проверки устойчивости, который позволяет вычислить:

  • Коэффициент запаса устойчивости (показывает во сколько раз нужно увеличить заданную нагрузку, чтобы система потеряла устойчивость);
  • Форму потери устойчивости;
  • Расчётные длины стержневых элементов.

Требования норм

Требования к проверке общей устойчивости стальных конструкций содержится в пункте 4.3.2 СП 16.13330.2011

Отношение критической нагрузки к расчетной для стержневых конструкций, рассчитываемых как идеализированные пространственные системы с использованием сертифицированных вычислительных комплексов (согласно 4.2.5, 4.2.6), должно быть не меньше коэффициента надежности по устойчивости системы ys = 1,3.

А к проверке железобетонных конструкций в приложении В СП 63.13330.2012 пункт В.8

При расчете на устойчивость конструктивной системы следует производить проверку устойчивости формы конструктивной системы, а также устойчивости положения конструктивной системы на опрокидывание и на сдвиг.

и в пункте 6.2.8 СП 52-103-2007:

…При расчете устойчивости формы конструктивной системы рекомендуется принимать пониженные жесткости элементов конструктивной системы (учитывая нелинейную работу материала), поскольку устойчивость конструктивной системы связана с деформативностью системы и отдельных элементов. При этом значение понижающих коэффициентов в первом приближении рекомендуется принимать, как указано в пп. 6.2.6, 6.2.7 с учетом того, что устойчивость конструктивной системы зависит от сопротивления в основном внецентренно сжатых вертикальных элементов при длительном действии нагрузки и в стадии, приближающейся к предельной. Запас по устойчивости должен быть не менее чем двукратным.

Задание исходных данных

Исходные данные для расчёта общей устойчивости системы находятся в специальных исходных данных:

В появившемся окне задаётся вид расчёта, верхняя граница поиска (граница выше которой поиск коэффициента запаса устойчивости не будет производиться, и от каких нагрузок или комбинаций будет производиться расчёт:

Более подробно об теоретическом обосновании можно прочитать в справке SCAD Office, особенно стоит обратить внимание на различия в результатах расчёта устойчивости стержней между строительными нормами и SCAD.

Анализ результатов

Коэффициент запаса устойчивости системы будет указан в протоколе, также там будет указан элемент с наименьшим коэффициентом запаса при неподвижных узлах системы.

Во вкладке перемещения — можно посмотреть формы потери устойчивости.

Во вкладке «Постпроцессоры»/»энергетический процессор» — элементы с отрицательной энергией будут ответственны за потерю устойчивости. Чем больше отрицательное значение у элемента, тем больше он отвечает за потерю устойчивости..

Дополнительная информация

А.В. Перельмутер В.И. Сливкер Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. 2011. Раздел 9. Задачи устойчивости и смежные вопросы.

Понятие продольного изгиба

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных продольных сжимающих сил. Продольный изгиб возникает при достижении сжимающими силами и напряжениями критического значения.

Расчеты на прочность и жесткость, выполняемые для большинства видов деформаций основываются на предположении, что между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними силами существует устойчивая форма равновесия, при которой малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения конструкции от первоначальной формы.
Нагрузки, при превышении которых происходит потеря устойчивости (критическое состояние), называют критическими нагрузками.

Примером явления продольного изгиба может послужить длинная школьная линейка, к одному из концов которой приложена сжимающая сила. Сначала материал линейки сопротивляется нагрузке, и линейка работает, как обычный сжимаемый брус. Затем, по достижении определенной нагрузки, линейка начинает прогрессирующе изгибаться без существенного увеличения сжимающей силы и теряет устойчивость (т. е. гнется без заметных усилий вплоть до поломки).

Явление продольного изгиба можно объяснить тем, что к реальному стержню практически невозможно применить основные гипотезы и допущения сопромата — об однородности, изотропности и непрерывности материала. Поэтому при продольном сжатии стержня, даже если сжимающая сила приложена идеально вдоль его оси (что тоже на практике нереально), отдельные волокна этого стержня неодинаково сопротивляются сжатию (из-за неоднородности и анизотропии материала, из которого он изготовлен). В результате, при достижении сжимающей силой критической величины, стержень начинает изгибаться в сторону наименьшего сопротивления волокон.
На практике этому способствует, также, приложение нагрузки не строго вдоль центральной оси сечения. По мере увеличения изгиба и потери стержнем устойчивости возрастают изгибающие нагрузки, поскольку, чем сильнее изгибается стержень, тем дальше от его оси отклоняется линия действия сжимающей силы, образуя возрастающий момент изгиба. По этой причине стержень изгибается все сильнее даже при небольшом возрастании сжимающей силы (прогрессивно растет плечо изгибающего момента этой силы).
В конечном итоге стержень теряет устойчивость, что чаще всего сопровождается его поломкой или неупругой деформацией (безвозратной потерей прямолинейности или начальной формы).

Читать еще:  Клей пена для откосов

Если предположить, что материал стержня идеально соответствует принимаемым в сопромате допущениям и гипотезам, а сжимающая сила приложена строго к центру тяжести сечения вдоль оси стержня, то такой стержень будет работать на простое сжатие, и разрушится не из-за потери устойчивости, а из-за превышения предельных прочностных характеристик для сжатия. Если же стержень имеет сечение в виде сложной фигуры, то решающую роль при потере устойчивости играет отклонение продольной нагрузки от главной центральной оси этой фигуры.

Опасность потери устойчивости особенно велика для тонкостенных конструкций, стержней, пластинок и оболочек.

Рассмотрим тонкий стальной стержень, длина которого значительно больше поперечных размеров, сжимаемый силой F , немного большей критической силы Fкр (см. рисунок 1) .

Применяя метод сечений, убеждаемся, что в результате искривления оси в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора – продольная сила N = F и изгибающий момент Ми .

Таким образом, искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба.

При сжимающих силах, даже немного превышающих критическую силу, напряжения изгиба могут непосредственно угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние конструкции считается недопустимым.

Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы действующая на стержень сжимающая сила F была меньше критической Fкр . Обозначим допускаемую сжимающую силу [F] , тогда:

где: [sy] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости.

Очевидно, что устойчивость стержня обеспечена, если [sy] > 1.

Значение коэффициента запаса устойчивости зависит от назначения стержня и его материала. Обычно для сталей [sy] = 1,8….3; для чугунов [sy] = 5….5,5; для дерева [sy] = 2,8….3,2.

Формулы Эйлера и Ясинского для расчетов стержней на устойчивость

Первые исследования устойчивости сжатых стержней были проведены академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером (1707-1783 г.г.). В дальнейшем большая работа в области теоретического и экспериментального следования вопросов устойчивости была проведена русским ученым, профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинским (1856-1899 г.г.), опубликовавшим в 1893 году научную работу «Опыт развития продольного изгиба».

Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707 — 1783) — выдающийся ученый, которого в разных источниках называют швейцарским, немецким и российским. Математик, физик, астроном и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих и ряда других прикладных наук.
Эйлер — автор более чем 850 научных работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям.
Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.

Л. Эйлер почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. С 1726 по 1741, а также с 1766 года и до конца жизни был академиком Петербургской академии наук. С 1741 по 1766 год работал в Берлине (оставаясь одновременно почётным членом Петербургской академии).
Превосходно знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.
Некоторые из потомков Л. Эйлера до сих пор живут в России.

Л. Эйлером была предложена формула для определения величины критической силы Fкр , которая приводится здесь без вывода:

где: Е – модуль упругости первого рода; Imin — наименьший из осевых моментов инерции сечения, поскольку искривление происходит в плоскости наименьшей жесткости; lп – приведенная длина стержня, которая может быть определена по формуле:

где: l – длина стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня.

Наиболее часто встречающиеся способы закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента приведения длины представлены на рисунке 2 .

Вывод формулы Эйлера основан на известном законе Гука, который справедлив лишь до предела пропорциональности. Поэтому формулой Эйлера можно пользоваться не всегда.
Для определения пределов применимости формулы Эйлера определим критическое напряжение σкр , т. е. напряжение, которое возникает в поперечном сечении площадью А стержня при достижении критической силы:

Читать еще:  Углы откоса рабочего уступа

Определим наименьший радиус инерции imin поперечного сечения стержня:

imin = √(Imin / A) (здесь √ — знак квадратного корня) .

Перепишем формулу для σкр так:

Введем понятие гибкости стержня: λ = μl / imin . Это безразмерная величина, характеризующая размеры стержня и способ закрепления его концов. Окончательно получим:

σкр = π 2 Е / λ 2 .

Формулу Эйлера можно применять только при выполнении условия:

где: σпц – предел пропорциональности материала стержня. Следовательно, должно быть

λ ≥ √( π 2 Е / σпц) = λпред (здесь √ — знак квадратного корня) .

Величину, стоящую в правой части неравенства, называют предельной гибкостью. Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня.
Условие применимости формулы Эйлера можно записать так: λ ≥ λпред , т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гибкость стержня больше или равна предельной гибкости. Так, для стержней из низкоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость λ ≥ 100.

В тех случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, формула Эйлера становится неприменимой и при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского:

где: а и b – коэффициенты, зависящие от материала и определяемые по таблицам справочников.

Если стержень имеет гибкость λ ≤ 40, то его можно рассчитывать на простое сжатие по формуле σс = F / А .

Расчеты прямолинейных стержней на устойчивость

Существует три вида расчетов на устойчивость прямолинейных стержней – проектный, проверочный и силовой.

Проектный расчет заключается в определении минимального осевого момента инерции поперечного сечения стержня по формуле:

где: F — действующая нагрузка; [sy] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости; μ – коэффициент приведения длины стержня; l – длина стержня; Е – модуль продольной упругости.

Далее находят гибкость стержня по формуле: λ = μl / imin ,

где: imin = √(Imin / A) , ( А – площадь сечения стержня) .

Полученную гибкость сравнивают с предельной для данного материала.

Проверочный расчет заключается в определении действительного коэффициента запаса устойчивости sy и сравнении его с допускаемым:

Силовой расчет заключается в определении допускаемой нагрузки [F] по формуле:

Расчет сжатых стержней на устойчивость можно свести к расчету на простое сжатие. При расчете применяют следующую формулу:

где: [σс] – допускаемое напряжение на сжатие; φ – коэффициент продольного изгиба (справочная величина, определяемая по таблицам).

Расчеты показывают, что при продольном изгибе наиболее выгодными являются кольцевые и коробочные тонкостенные сечения, имеющие относительно большой момент инерции.

Заключение

Конечно, примененный стандарт устанавливает нормы и методы именно для элементов сосудов и аппаратов, но что нам мешает распространить эту методику на другие области? Если вы разобрались в теме, и запас, заложенный в ГОСТе, считаете чрезмерно большим для вашего случая – замените значение коэффициента запаса устойчивости ny с 2,4 на 1,0. Программа выполнит расчет вообще без учета какого-либо запаса.

Значение 2,4, применяемое для рабочих условий сосудов, может служить в иных ситуациях просто ориентиром.

С другой стороны — очевидно, что, рассчитанные по нормативам для сосудов и аппаратов, стойки из трубы будут работать сверхнадежно!

Предложенный расчет трубы на прочность в Excel отличается простотой и универсальностью. С помощью программы можно выполнить проверку и трубопровода, и сосуда, и стойки, и опоры – любой детали, изготовленной из стальной круглой трубы (обечайки).

Уважающих труд автора прошу скачать файл с программой после подписки на анонсы статей в окне, размещенном наверху страницы или в конце статьи!

Местная устойчивость

Это устойчивость элементов конструкции. Если происходит их выпучивание в результате воздействия на них напряжений сжимающего или касательного характера, о таком явлении говорят, что происходит потеря местной устойчивости.

Прочность конструкции снижается, когда теряется устойчивость стенки. Если она находится рядом с опорой, то на нее воздействует касательное напряжение. Под ее влиянием стенка перекашивается. По укороченным диагоналям она сжимается, а по удлиненным – вытягивается. Происходит вспучивание стенки, образование волн. Препятствовать этому явлению можно с помощью установки по вертикали ребер жесткости. Они будут пересекать вспученные места, выпрямляя стенку.

Устойчивость конструкции, а именно стенок и пояса может быть потеряна не только от касательных напряжений. Они в малой степени влияют на стенку середины балки, здесь на нее воздействуют нормальные напряжения, которые могут стать потерей устойчивости конструкции.

Читать еще:  Устройство откосов по системе кнауф

Определение устойчивости систем автоматического управления промышленными роботами

Введение

Необходимым условием работоспособности системы автоматического управления (САУ), является её устойчивость. Под устойчивостью принято понимать свойство системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена под влиянием возмущающих факторов после прекращения их воздействия [1].

Постановка задачи

Теория просто и кратко

Анализ устойчивости системы по методу Михайлова сводится к построению характеристического многочлена замкнутой системы (знаменатель передаточной функции), комплексной частотной функции (характеристического вектора):

(1)

где и – соответственно вещественная и мнимая части знаменателя передаточной функции, по виду которой можно судить об устойчивости системы.

Замкнутая САУ устойчива, если комплексная частотная функция , начинаясь на
стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок характеристического уравнения системы, т. е.

(2)

Рисунок 1. Амплитудно-фазовые характеристики (годографы) критерия Михайлова: а) – устойчивой системы; б) – неустойчивой системы (1, 2) и системы на границе устойчивости (3)

САУ электроприводом манипулятора промышленного робота (МПР)

Рисунок 2 – Структурная схема САУ электроприводом МПР

Передаточная функция данной САУ имеет следующее выражение [2]:

(3)
где kу – коэффициент усиления усилителя, kм – коэффициент пропорциональности частоты вращения двигателя величине напряжения на якоре, Tу – электромагнитная постоянная времени усилителя, Tм – электромеханическая постоянная времени двигателя с учётом инерции нагрузки (по своим динамическим характеристикам двигатель представляет собой передаточную функцию последовательно соединённых инерционного и интегрирующего звеньев), kдс – коэффициент пропорциональности между входной и выходной величинами датчика скорости, K – коэффициент усиления главной цепи: .

Численные значения в выражение передаточной функции следующие:

K = 100 град / (В∙с); kдс = 0,01 В / (град∙с); Tу = 0,01 с; Tм = 0,1с.

Далее запишем характеристический многочлен замкнутой системы

заменив s на :
(4)

Решение на Python

Здесь следует отметить, что подобные задачи на Python ещё никто не решал, во всяком случае я не нашёл. Это было связано с ограниченными возможностями работы с комплексными числами. С появлением SymPy можно сделать следующее:

Где I мнимая единица, w- круговая частота, T1= Tу = 0.01 ,T2= Tм = 0.1
Получим развёрнутое выражение для многочлена:

Характеристический многочлен замкнутой системы –
-I*T1*T2*w**3 — T1*w**2 — T2*w**2 + I*w + 1

Сразу видим, что многочлен третьей степени. Теперь получим мнимую и действительную части в символьном отображении:

Действительная часть Re= -T1*w**2 — T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w

Сразу видим вторую степень действительной части и третью мнимой. Подготовим данные для построения годографа Михайлова. Введём численные значения для T1 и T2, и будем менять частоту от 0 до 100 с шагом 0.1 и построим график:


Из графика не видно, то годограф начинается на действительной положительной оси. Нужно изменить масштабы осей. Приведу полный листинг программы:

Характеристический многочлен замкнутой системы — -I*T1*T2*w**3 — T1*w**2 — T2*w**2 + I*w + 1
Действительная часть Re= -T1*w**2 — T2*w**2 + 1
Мнимая часть Im= -T1*T2*w**3 + w


Теперь уже видно, что годограф начинается на действительной положительной оси. САУ устойчива, n=3, годограф совпадает с приведённым на первом рисунке.

Дополнительно убедится в том, что годограф начинается на действительной оси можно дополнив программу следующим кодом для w=0:

Начальная точка М(1,0)

САУ сварочного робота

Рисунок 3. Структурная схема САУ позиционированием НСУ

Характеристическое уравнение данной САУ будет иметь вид [1]:


где K – варьируемый коэффициент усиления системы, a – определённая положительная константа. Численные значения: K = 40; a = 0,525.

Далее путём замены s на , получим функцию Михайлова:
(5)

Решение на Python

Характеристический многочлен замкнутой системы — w**4 — 6*I*w**3 — 11*w**2 + 46*I*w + 21
Начальная точка М(21,0)
Действительная часть Re= w**4 — 11*w**2 + 21
Мнимая часть Im= -6*w**3 + 46*w

Построенный годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси (М (21,0)), огибает в положительном направлении начало координат, проходя последовательно четыре квадранта, что соответствует порядку характеристического уравнения. Значит, данная САУ позиционированием НСУ – устойчива.

Выводы

При помощи модуля SymPy Python получен простой и наглядный инструмент для решения задач расчёта устойчивости систем автоматического управления, что является обязательным условием работоспособности любого промышленного робота и манипулятора.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector